समानांतर ℹ️ परिभाषा, गुण, प्रजातियां, क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र, मात्रा और ज्यामितीय आकार की परिधि, प्रमेय का प्रमाण, प्रमेय

समानांतर खात

सामान्य विशेषताएँ

दुनिया में समानांतर के रूप में कई वस्तुएं हैं। लोग आमतौर पर इसके बारे में नहीं सोचते हैं, लेकिन वास्तुकला और विभिन्न विशाल संरचनाओं में कई चेहरे होते हैं। समान रूप से इस प्रकार पर निर्भर हो सकते हैं।

मूल अवधारणाओं और वर्गीकरण

समानांतर, पिरामिड, घन और अन्य पॉलीहेड्रा की परिभाषा प्राचीन काल से जाना जाता था। मुख्य विशेषताएं सादगी और महत्व हैं।

व्युत्पन्न वी और एस सूत्र व्यावहारिक सामग्री और प्रमेय द्वारा प्रमाणनों (चित्रों के अनुसार) के साथ विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। समानांतर के दृश्य:

समानांतर कार्य
  1. सीधे। चार पक्ष के चेहरे में 90 डिग्री के कोने होते हैं।
  2. आयताकार। आकृति का प्रत्येक पक्ष आयताकार है।
  3. झुका हुआ।
  4. डायहेड्रल, त्रिकोणीय। 90 डिग्री के कोण पर कई चेहरे होते हैं।
  5. झुकाव, विकर्ण। साइड चेहर मैदान के लिए लंबवत नहीं हैं।
  6. Rombohedron। पार्टियां समान हीरे हैं।
  7. घनक्षेत्र बराबर (वर्ग) पक्षों के साथ paralylepipped।

ज्यामिति पाठ में 6 वीं कक्षा में, प्लानिमेट्री का अध्ययन किया जाता है (फ्लैट आंकड़े)। यहां विमानों का स्कैन है।

समानांतर के दो पक्ष, जिनके पास एक आम रिब नहीं है, उन्हें विपरीत कहा जाता है, और एक पंक्ति शामिल है - आसन्न। ग्रहों के दृष्टिकोण से, समानांतर में स्थित, उनके तीन जोड़े अंदर छेड़छाड़ करते हैं। ये शिखर से सेगमेंट को जोड़ते हैं - विकर्ण। सही पॉलीहेड्रॉन के तीन किनारों की लंबाई को माप कहा जाता है । मुख्य स्थिति कुल चोटी है।

कार्यों को हल करते समय, ऊंचाई की अवधारणा लंबवत है, विपरीत दिशा पर किसी भी चरम से कम हो जाती है। जिस चेहरे से ऊंचाई गिरती है उसे आधार माना जाता है। ALPPIPED गुण PAR:

  • कोई भी पार्टियां समांतरोग्राम (समरूपता के साथ) हैं;
  • एक दूसरे के खिलाफ स्थित पार्टियां समानांतर और बराबर होंगी।
समांतरपिपेडा की गुण

ईंट - एक आयताकार समानांतरपिपेडा (पीपी) का एक उत्कृष्ट उदाहरण । इसके अलावा, इसके आकार में नौ मंजिला पैनल हाउस, बुलफायर, वार्डरोब, कंटेनर उत्पादों और अन्य घरेलू सामानों के भंडारण के लिए हैं।

सतह विकर्णों को छेड़छाड़ और यह केंद्रीय बिंदु कई हिस्सों में बांटा गया है। वे डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2 के बराबर हैं

सामने और पीछे समानांतर के चेहरे समकक्ष हैं, साथ ही ऊपरी और निचले पक्ष हैं, लेकिन बराबर नहीं हैं, क्योंकि वे विपरीत नहीं हैं, लेकिन आसन्न हैं।

सूत्र और विश्लेषण

पीपी के लिए, यह सच है कि इसकी मात्रा एक चरम से निकलने वाले तीन पक्षों के वैक्टर के ट्रिपल उत्पाद की परिमाण के बराबर है। पीपी के लिए सूत्र:

समानांतर के बारे में सब
  1. V = a * b * c।
  2. एस बी = 2 * सी * (ए + बी)।
  3. S n = 2 * (a * b + b * c + a * c)।

डिकोडिंग पदनाम: वी आकृति, एस - सतह क्षेत्र, एक - लंबाई, बी-चौड़ाई, सी-ऊंचाई की मात्रा है।

समानांतरपिपेडा का एक विशेष मामला, जिसमें सभी पक्ष वर्ग हैं, एक घन है। यदि कोई भी पार्टियां पत्र ए इंगित करती हैं, तो सूत्रों का उपयोग सतह और मात्रा के लिए किया जाता है: एस = 6 * ए * 2, वी = 3 * ए। उनमें वी - आकृति की मात्रा, ए - चेहरे की लंबाई।

Parallelepipeda नियम

समानांतर की अंतिम किस्म एक प्रत्यक्ष प्रकार है। इसका आधार समांतरोग्राम होगा, और पीपी का आधार एक आयताकार है। गणित और ज्यामिति में प्रयुक्त सूत्र: एसबी = पीओ * एच, एसपी = एसबी + 2 एसओ, वी = तो * एच।

उत्तर खोजने के लिए, केवल ज्यामितीय आकार के गुणों को जानने के लिए पर्याप्त नहीं है। सूत्रों को एस और वी की गणना के लिए उपयोगी हो सकता है।

पीपी विकर्ण अपने माप के वर्गों के अतिरिक्त के बराबर है: डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2। यह सूत्र पाइथागोरियन प्रमेय से प्राप्त किया जाता है।

Δbad आयताकार है, इसलिए बीडी 2 = एबी 2 + एडी 2 = बी 2 + सी 2 .

ΔBDD1 आयताकार है, इसका मतलब बीडी 12 = बीडी 2 + डीडी 12 है। आपको मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है: डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2।

मानक सूत्र: वी = एसओएसएन * एच। डिकोडिंग पदनाम: वी - समानांतरपिप्ड की मात्रा, एसओएसएन - आधार क्षेत्र, एच ऊंचाई है।

एस समानांतर या आयताकार के समान भी है। परीक्षणों और परीक्षा कार्यों को हल करते समय प्रिज्म के संकेतकों की गणना करना आसान होता है, जो सीधे कोण पर आधारित होता है। समानांतर एसबीओके = पी * एच के पक्ष की गणना के लिए सूत्र भी उपयोगी हो सकता है, जहां:

समानांतर के साथ कार्य
  • एसबीओके - बराबर allepiped वर्ग;
  • पी - परिधि;
  • एच ऊंचाई, आधार के लिए लंबवत है।

आंकड़े की मात्रा एक बिंदु से जारी कई वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की परिमाण के बराबर होती है।

प्रायोगिक उपयोग

उस आकृति की मात्रा, ऊंचाई और अन्य विशेषताओं की गणना करने के लिए आपको सैद्धांतिक नींव और सूत्रों को जानने की आवश्यकता है। कार्यों की समस्या विश्वविद्यालय में प्रवेश पर परीक्षा और टिकट पारित करने के कार्यक्रम में शामिल है।

प्रूफ प्रमेय

पीपी की सैद्धांतिक रूप से एस साइड सतह एस बी के बराबर है। पी। = 2 (ए + बी) सी। एस पूर्ण सतह एसपी 0 के बराबर है। सतह पीपी = 2 (एबी + एसी + बीसी)।

पीपी की मात्रा एक एकल वर्टेक्स (पीपी के तीन आयाम) के नजदीक तीन फुटपाथों के उत्पाद के बराबर है: एबीसी।

प्रमाण: चूंकि पीपी पक्ष पसलियों के आधार पर लंबवत है, तो वे इसकी ऊंचाई हैं - एच = एए 1 = सी। यदि एक आयताकार आधार पर निहित है, तो sosn = ab ⋅ ad = ab। डायगोनल डी पीपी फॉर्मूला डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2 के अनुसार पाया जा सकता है, जहां पीपी के ए, बी, सी - माप।

यदि एक आयताकार आधार पर स्थित है, तो △ एबीडी आयताकार, इसका मतलब है कि पाइथागोर प्रमेय बीडी 2 = एबी 2 + एडी 2 = ए 2 + बी 2। यदि सभी पक्ष चेहरे मुख्य रेखा के लंबवत हैं, तो बीबी 1 ⊥ (एबीसी) ⇒ बीबी 1 ⊥ बीडी .

जब △ बीबी 1 डी आयताकार है, तो पाइथागोर प्रमेय बी 1 डी = बीबी 12 + बीडी 2 द्वारा।

सुलझाना कार्य

समानांतर फोटो

कार्य 1: पीपी: 3, 4, 12 सेमी ज्ञात हैं, आकृति के मुख्य विकर्ण की लंबाई को ढूंढना आवश्यक है।

प्रश्न के उत्तर की खोज एक योजनाबद्ध छवि बनाने के साथ शुरू होती है जिस पर मूल्यों का अर्थ होता है। फॉर्मूला बी 1 डी 2 = एबी 2 + एडी 2 + एए 12 का उपयोग किया जाता है। गणना के बाद, अभिव्यक्ति बी 2 = 16 9, बी = 13 प्राप्त किया जाता है।

कार्य 2: एक सामान्य बिंदु से उभरती पीपी पसलियों 3 और 4 के बराबर है, कुल एस - 94. आपको एक ही शीर्ष से बाहर आने वाले तीसरे किनारे को खोजने की जरूरत है।

पसलियों को ए 1 और ए 2, और अज्ञात - ए 3 का संकेत दिया जाता है। सतह क्षेत्र एस = 2 (ए 1 ए 2 + ए 1 ए 3 + ए 2 ए 3) व्यक्त किया गया है।

इसके बाद, हम ए 3 (ए 1 + ए 2) = एस / 2 - ए 1 ए 2 प्राप्त करते हैं। अज्ञात रिब: ए 3 = एस / 2 - ए 1 ए 2 / ए 1 + ए 2 = 47-12 / 7 = 5।

कार्य 3: एक आम बिंदु से बाहर आने वाली दो आयताकार समानांतर पसलियों 72 और 18 हैं, विकर्ण 78 है। आकार की मात्रा निर्धारित करना आवश्यक है।

हल करने के लिए, योग (ए 2 + बी 2 + सी 2) से वर्ग रूट की गणना के लिए सूत्र के अनुसार एक विकर्ण खोजने की आवश्यकता है, जहां ए, बी, सी - आकार की पसलियों। 78 - 722 + 182 + सी 2 की राशि से रूट। फेसला:

समानांतर के बारे में तथ्य
  • 78 = 5508 + C2 की राशि से रूट
  • 782 = 5508 + सी 2
  • सी 2 = 6084 - 5508।
  • सी 2 = 576।

उत्तर: मात्रा 576 है।

कार्य 4: इच्छुक समानांतर का किनारा 10 सेमी है, माप के साथ केएलएनएम आयताकार 5 और 7 सेमी किनारे के समानांतर आकृति का एक क्रॉस सेक्शन है। प्रिज्म के पक्ष की सतह क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।

केएल और विज्ञापन एमएल और डीसी की एक जोड़ी के रूप में बराबर नहीं हैं। साइड एस आंकड़े एस सेक्शन के बराबर हैं, एए 1 द्वारा गुणा किए गए हैं, जैसे पार अनुभाग के लंबवत किनारे के रूप में। उत्तर: 240 सेमी²।

कार्य 5: abcda1b1c1d1 = 3, 4 सेमी, पार्श्व किनारे - 12 सेमी। आपको पीपी के विकर्ण निर्धारित करने की आवश्यकता है।

एबी 3 सेमी और एडी 4 सेमी के किनारों के साथ एक आयताकार के आधार पर। साइड एज 3 सेमी है। बीबी 1 पीपी की ऊंचाई है और 12 सेमी के बराबर है। डायगोनल बी 1 डी 2 = एबी 2 + बीबी 1 2 + = 9 + 16 + 144 = 16 9 । B1D = 13 सेमी।

कार्य 6: पीपी का आधार वर्ग है, इसके शीर्ष आधार के शीर्ष में से एक को निचले हिस्से के सभी शिखर से समान रूप से हटा दिया गया है। यदि आधार विकर्ण 8 सेमी है, तो आकार की ऊंचाई को ढूंढना आवश्यक है, और साइड एज 5 सेमी है।

समांतरपिपेडा की बुनियादी अवधारणाएं

बेस (एफ) के शिखर में से एक समानांतर के निचले आधार के सभी शिखर से हटाए जाने के बराबर है। निचले हिस्से (एसी) के विकर्ण के साथ, यह एक समान रूप से अध्यक्ष δAFC बनाता है। AF = AC शर्त से। एएफ आकृति का एक किनारा है।

एक समेकित δafc पक्ष में पक्ष समान हैं: AF = FC = 5 सेमी, एसी = 8 सेमी। ऊंचाई δAFC समानांतर की ऊंचाई होगी।

त्रिभुज की ऊंचाई अपने आधार को आधे में विभाजित करती है। पायथागोर प्रमेय द्वारा, यह बराबर है:

  • एफके 2 + (एसी / 2) 2 = एफसी 2;
  • एफके 2 + 16 = 25;
  • FK2 = 25-16 = 9;
  • Fk = 3 सेमी।

आकृति की ऊंचाई 3 सेमी है।

स्थापित प्रमेय, साक्ष्य, साथ ही व्युत्पन्न सूत्र आकृति के लिए विभिन्न मूल्यों की गणना करने में सहायता करते हैं।

इस प्रकाशन में, हम समानांतरता के परिभाषा, तत्व, प्रकार और मूल गुणों पर विचार करेंगे। आयताकार। प्रदान की गई जानकारी के साथ बेहतर धारणा के लिए दृश्य चित्रों के साथ है।

समांतरपिपेडा की परिभाषा

समानांतर खात - यह अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय व्यक्ति है; हेक्सागोन, जिनके चेहरे समांतरोग्राम हैं। आंकड़े में 12 पसलियों और 6 चेहरे हैं।

समानांतर खात

समानांतरपाइप एक आधार के रूप में समांतरोग्राम के साथ प्रिज्म की एक भिन्नता है। आंकड़ों के मुख्य तत्व प्रिज्म जैसा ही हैं।

ध्यान दें: सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र (एक आयताकार आकृति के लिए) और समानांतर की मात्रा अलग-अलग प्रकाशनों में प्रस्तुत की जाती है।

समानांतर के दृश्य

  1. प्रत्यक्ष समानांतर - आकार के पक्ष के चेहरे इसके आधार के लंबवत हैं और आयताकार हैं। प्रत्यक्ष समानांतर
  2. प्रत्यक्ष समानांतर हो सकता है आयताकार - मैदान आयताकार हैं। आयताकार समानांतर
  3. समानांतर समानांतर - साइड चेहर मैदान के लंबवत नहीं हैं। समानांतर समानांतर
  4. घन - आकार के सभी किनारों बराबर वर्ग हैं। घन
  5. यदि समानांतर के सभी चेहरे समान हीरे हैं, तो इसे बुलाया जाता है रोमबोहाइड्रॉन .

समांतरपिपेडा की गुण

1. समानांतर के विपरीत चेहरे परस्पर समानांतर होते हैं और समांतरोग्राम के बराबर होते हैं।

2. समांतरपालित के सभी विकर्ण एक बिंदु पर छेड़छाड़ और आधे में विभाजित हैं।

विकर्ण रूप से समानांतरपिपेडा

3. स्क्वायर विकर्ण (डी) आयताकार parallelepipeda अपने तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर है: लंबाई (ए) चौड़ाई (बी) और ऊंचाई (सी) .

Parallelepipeda का विकर्णd2= ए 2+ बी 2+ सी। 2

ध्यान दें: समानांतरता के लिए, लागू प्रिज्म गुण भी।

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