Parallélépiped ℹ️ Définition, propriétés, espèces, formules pour calculer la zone, volume et périmètre de la forme géométrique, preuve des théorèmes

Parallélépipède

caractéristiques générales

Il y a beaucoup d'objets avec une forme de parallélépipède dans le monde. Les gens n'en pensent généralement pas, mais l'architecture et diverses structures massives sont constituées de plusieurs visages. On dirait que la parallélépiped peut dépendre différemment du type.

Concepts de base et classification

La définition de parallélépiped, des pyramides, du cube et d'autres polyèdres étaient connues depuis l'Antiquité. Les principales caractéristiques sont la simplicité et la signification.

Les formules V et S dérivées sont importantes pour résoudre diverses tâches avec un contenu pratique et une preuve par des théorèmes (selon les dessins). Vues de parallélépiped:

Tâches parallélépipées
  1. Droit. Quatre faces latérales ont des coins de 90 degrés.
  2. Rectangulaire. Chaque côté de la figure est rectangulaire.
  3. Incliné.
  4. Dièdre, triangulaire. Se compose de plusieurs visages à un angle de 90 degrés.
  5. Incliné, diagonale. Les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux terrains.
  6. Romboedron. Les parties sont des diamants égaux.
  7. cube Paralylepéré avec des côtés égaux (carrés).

Dans la 6e année de la leçon de géométrie, la planimétrie est étudiée (chiffres plats). Voici le scan des avions.

Les deux côtés du parallélépiped, qui n'ont pas de côtes communs sont appelés opposés et contenant une seule ligne - adjacente. Du point de vue des avions, situé en parallèle, les trois couples se croisent à l'intérieur. Ces sommets relient le segment - diagonale. La longueur des trois bords du polyèdre correct est appelée mesure . L'état principal est le sommet total.

Lors de la résolution des tâches, le concept de hauteur est perpendiculaire, abaissé de n'importe quel sommet sur la direction opposée. Le visage que la hauteur tombe est considérée comme des terrains. Par PROPRIÉTÉS ALLÉPIPES:

  • Toutes les parties sont des parallélogrammes (avec symétrie);
  • Les parties situées les unes contre les autres seront parallèles et égales.
Propriétés de parallélépipeda

Brique - Un excellent exemple d'une parallélalepipeda rectangulaire (pp) . En outre, sa forme contient des maisons de panneaux de neuf étages, des torcheurs, des armoires, des conteneurs pour stocker des produits et d'autres articles ménagers.

Les diagonales de surface se croisent et ce point central est divisé en plusieurs parties. Ils sont égaux à D2 = A2 + B2 + C2

Les faces du parallélépipède à l'avant et à l'arrière sont équivalentes, ainsi que les côtés supérieur et inférieur, mais ne sont pas égaux, car ils ne sont pas opposés, mais adjacents.

Formules et analyse

Pour PP, il est vrai que son volume est égal à la magnitude du triple produit des vecteurs des trois côtés émanant d'un seul sommet. Formules pour pp:

Tout sur le parallélépipède
  1. V = a * b * c.
  2. S b = 2 * c * (A + B).
  3. S n = 2 * (A * B + B * C + A * C).

Désignations de décodage: V est le volume de la figure, de la surface de la surface S, une longueur A, B - largeur, C - Hauteur.

Un cas particulier de parallélépipeda, dans lequel tous les côtés sont des carrés, est un cube. Si l'une des parties indique la lettre A, les formules sont utilisées pour la surface et le volume: S = 6 * A * 2, v = 3 * A. En eux V - le volume de la figure, une longueur de la face.

Règles parallélépipeda

La dernière variété de parallélépiped est un type direct. Sa base sera des parallélogrammes et la base de PP est un rectangle. Formules utilisées en mathématiques et en géométrie: SB = PO * H, SP = SB + 2SO, V = SO * H.

Pour trouver les réponses, pas assez pour connaître uniquement les propriétés de la forme géométrique. Les formules peuvent être utiles pour calculer S et V.

La diagonale PP est égale à l'ajout des carrés de ses mesures: D2 = A2 + B2 + C2. Cette formule est obtenue auprès du théorème de Pythagore.

ΔBad est rectangulaire, donc BD2 = AB2 + AD2 = B2 + C2 .

ΔBDD1 est rectangulaire, cela signifie BD12 = BD2 + DD12. Vous devez substituer la valeur: D2 = A2 + B2 + C2.

Formule standard: V = SOSN * H. Désignations de décodage: V - Le volume de parallélépiped, SOSN - la zone de base, h est hauteur.

S est également identique à un parallélogramme ou de rectangle. Lors de la résolution de tests et de tâches d'examen, il est plus facile de calculer les indicateurs du prisme, qui repose sur un angle droit. La formule de calcul du côté de la parallélépiped SBOK = P * H peut également être utile, où:

Tâches avec parallélépipède
  • SBOK - PAR SQUARE ALLÉPIPED;
  • P - périmètre;
  • H est la hauteur, perpendiculaire à la base.

Le volume de la figure est égal à la magnitude du produit mélangé de plusieurs vecteurs libérés d'un seul point.

Utilisation pratique

Pour calculer le volume, la hauteur et d'autres caractéristiques de la figure, vous devez connaître les fondations et les formules théoriques. Le problème des tâches est inclus dans le programme de transmission de l'examen et des billets à l'admission à l'université.

Théorème de la preuve

La surface latérale théoriquement de PP est égale à S b. p. = 2 (A + B) c. S La surface complète est égale à SP0. Surfaces PP = 2 (AB + AC + BC).

Le volume de PP est égal au produit de trois parois latérales surplombant un sommet unique (trois dimensions de PP): ABC.

Preuve: Etant donné que les nervures latérales PP perpendiculaires à la base, ils sont ses hauteurs - H = AA1 = c. Si un rectangle réside à la base, SOSN = AB ⋅ AD = AB. Diagonal D pp peut être trouvé selon la formule D2 = A2 + B2 + C2, où a, B, C - mesures de pp.

Si un rectangle est situé à la base, alors △ abd rectangulaire, cela signifie que le théorème Pythagores BD2 = AB2 + AD2 = A2 + B2. Si toutes les faces latérales sont perpendiculaires à la ligne principale, alors bb1 ⊥ (abc) ⇒ BB1 ⊥ BD .

Lorsque BB1D est rectangulaire, alors par le théorème Pythagore B1D = BB12 + BD2.

Résoudre les tâches

Photo parallélépiped

Tâche 1: pp: 3, 4, 12 cm sont connus, il est nécessaire de trouver la longueur de la diagonale principale de la figure.

La recherche d'une réponse à la question commence par la construction d'une image schématique sur laquelle les valeurs sont la signification. La formule B1D2 = AB2 + AD2 + AA12 est utilisée. Après des calculs, l'expression B2 = 169, B = 13 est obtenue.

Tâche 2: Les nervures PP émergentes d'un point commun sont égales à 3 et 4, total S-94. Vous devez trouver le troisième bord sortant du même sommet.

Les côtes sont indiquées A1 et A2, et inconnue - A3. La surface est exprimée S = 2 (A1A2 + A1A3 + A2A3).

Ensuite, nous obtenons A3 (A1 + A2) = S / 2 - A1A2. Côte inconnue: A3 = S / 2 - A1A2 / A1 + A2 = 47-12 / 7 = 5.

Tâche 3: Deux nervures parallélépipées rectangulaires qui sortent d'un point commun sont de 72 et 18, la diagonale est de 78. Il est nécessaire de déterminer le volume de la forme.

Pour résoudre, il est nécessaire de trouver une diagonale selon la formule permettant de calculer la racine carrée de la somme (A2 + B2 + C2), où A, B, C - Les nervures de la forme. 78 - racine de la quantité de 722 + 182 + C2. Décision:

Faits sur la parallélépipède
  • 78 = racine de la quantité de 5508 + C2
  • 782 = 5508 + C2
  • C2 = 6084 - 5508.
  • C2 = 576.

Réponse: Le volume est 576.

TÂCHE 4: Le bord de la parallélépiped incliné est de 10 cm, le rectangle KLNM avec des mesures 5 et 7 cm est une coupe transversale de la figure parallèle au bord. Il est nécessaire de déterminer la surface latérale du prisme.

KL et AD ne sont pas égaux comme une paire de ml et de DC. Les figures latérales sont équivalentes à S, multipliée par AA1, comme le bord perpendiculaire à la section transversale. Réponse: 240 cm².

Tâche 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 cm, bord latéral - 12 cm. Vous devez déterminer la diagonale de pp.

Basé sur un rectangle avec les côtés d'AB 3 cm et ad 4 cm. Le bord latéral est de 3 cm. BB1 est la hauteur de pp et est égale à 12 cm. Diagonale B1D2 = AB2 + BB1 2 + = 9 + 16 + 144 = 169 . B1D = 13 cm.

Tâche 6: La base du PP est le carré, l'un des sommets de sa base supérieure est également retiré de tous les sommets de la partie inférieure. Il est nécessaire de trouver la hauteur de la forme si la diagonale de base est de 8 cm et le bord latéral est de 5 cm.

Concepts de base de parallélépipeda

L'un des sommets de la base (F) équivaut à retirer de tous les sommets de la base inférieure de la parallélépiped. Avec la diagonale de la partie inférieure (AC), elle forme un ΔAFC de manière égale. AF = AC par condition. AF est un bord de la figure.

Dans un côté ΔAFC équilibré, les côtés sont les mêmes: AF = FC = 5 cm, AC = 8 cm. La hauteur ΔAfc sera la hauteur du parallélépiped.

La hauteur du triangle divise sa base en deux. Par le théorème de Pythagore, il est égal à:

  • FK2 + (AC / 2) 2 = FC2;
  • FK2 + 16 = 25;
  • Fk2 = 25-16 = 9;
  • Fk = 3 cm.

La hauteur de la figure est de 3 cm.

Les théorèmes établis, la preuve, ainsi que les formules dérivées aident à calculer diverses valeurs pour la figure.

Dans cette publication, nous examinerons la définition, les éléments, les types et les propriétés de base de parallélépiped, incl. rectangulaire. Les informations fournies sont accompagnées de dessins visuels pour une meilleure perception.

Définition de parallélépipeda

Parallélépipède - Ceci est une figure géométrique dans l'espace; Hexagone, dont les visages sont des parallélogrammes. La figure a 12 nervures et 6 faces.

Parallélépipède

Le parallélépiped est une variation du prisme avec un parallélogramme comme base. Les principaux éléments des figures sont les mêmes que le prisme.

Noter: Formules pour calculer la surface (pour une figure rectangulaire) et le volume de parallélépiped sont présentés dans des publications distinctes.

Vues de parallélépipède

  1. Parallélépipède direct - Les faces latérales de la forme sont perpendiculaires à ses bases et sont des rectangles. Parallélépipède direct
  2. La parallélépiped directe peut être rectangulaire - Les terrains sont des rectangles. Parallélépipède rectangulaire
  3. Parallélépipède incliné - Les visages latéraux ne sont pas perpendiculaires aux terrains. Parallélépipède incliné
  4. Cubique - Tous les bords des formes sont des carrés égaux. Cubique
  5. Si toutes les visages du parallélépiped sont les mêmes diamants, on l'appelle ROMBOEDRON .

Propriétés de parallélépipeda

1. Les visages opposés du parallélépiped sont mutuellement parallèles et sont égaux à des parallélogrammes.

2. Toutes les diagonales de l'intersecte parallélépipédique à un point et sont divisées en deux.

Parallélépipeda diagonale

3. diagonale carrée (RÉ) La parallélépipeda rectangulaire est égale à la somme des carrés de ses trois dimensions: longueur (une) , largeurs (b) et hauteur (C) .

Diagonale de parallélépipedad2= A. 2+ B. 2+ C. 2

Noter: À la parallélépiped, également des propriétés de prisme applicables.

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